From deterministic chaos to noise in optical delay systems
Du chaos deterministe au bruit dans des systèmes optiques avec retard
OPEN ACCESS
An optical device with a variational structure driven by a delayed feedback, F(x(t - d)) = sinAx(t - d) is shown to display high dimensional chaos with dimension increasing linearly with two parameters, the delay d and the feedback frequency A. For large delay d and large frequency A, the system is shown to display Gaussian-Markovian statistics like a system driven by a white noise. Decreasing the frequency A leads to effects very similar to those of a colored noise, and decreasing the delay leads to quite special phenomena like phase transitions, giving rise to new peaks in the probability distribution. An analytical description using the tools of stochastic equations agrees with the numerical results.
Résumé
Un système optique possédant une structure variationnelle, et forcé par une rétro-injection retardée, F(x(t - d)) = sin Ax(t - d), émet un signal lumineux chaotique dont la dimension croit linéairement avec deux paramètres, le retard d et la fréquence A. Pour de grandes valeurs du retard et de la fréquence, le signal émis a une statistique Gaussienne et Markovienne, comme la solution d'une équation de Langevin forcée par un bruit blanc. Lorsqu'on diminue la valeur du paramètre A, la statistique est modifiée comme celle d'une équation de Langevin forcée par un bruit coloré. Lorsqu'on diminue le retard, de nouveaux pics apparaissent dans la distribution de probabilité, comme dans les transitions de phase induites par du bruit coloré. Une description analytique utilisant les méthodes des signaux aléatoires permet d'interpréter les résultats numériques.
Delay differential equations, Langevin equation, Lyapunov dimension, Gaussian Markovian statistics, phase transition
Mots clés
Equation différentielle à retard, équation de Langevin, dimension de Lyapunov, statistique Gaussienne et Markovienne, transition de phase
[1] E.N. Lorenz, Journ . Mm . Sci . 20, 130 (1963) ; C. Sparrow, The Lorenz equations, bifurcations, chaos and strange attractors, Appl. Math. Sci . 41, (Springer-Verlag, 1982)
[2] J . Hale, Theorie of functional differential equations (Springer-Verlag, 1977)
[3] M .C . Mackey, L. Glass, Science 197, 287 (1977)
[4] S. Invernizzi, A. Medio, J. Math . Econom. 20, 521 (1991)
[5] H . Yoshimura, Astrophys . J . 226, 706 (1978)
[6] C .E. Mitchell, L . Crocco, W.A. Sirignano, Combust . Sci . Tech . 1, 35 (1969); G . Joulin, Combust . Flame 46, 271 (1982)
[7] D .S . Battisti, A .C . Hirst, J. Atmosph . Sci 46, 366 (1989)
[8] E . Villermaux, Phys . Rev. Lett . 75, 4618 (1995) ; E . Villermaux, E .J . Hopfinger, Physica D 72, 230 (1994)
[9] V.P. Rubanik, Oscillations of quasi-linear systems with retardation (Nauka, Moscow, 1969) ; see also M .H . Devoret, J .M . Martinis, D . Esteve and J. Clarke, Hely. Phys . Acta 61, 622 (1988 )
[10] J .D . Farmer, Physica 4D, 366 (1982 )
[11] F.A. Hopf, D .L . Kaplan, H .M . Gibbs, and R .L . Schoemaker, Phys . Rev. A 27, 3200 (1983)
[12] G . Giovani and A . Politi, Physica D 117, 26 (1998 )
[13] K . Ikeda, Opt . Comm. 30, 257 (1979) ; K. Ikeda, H. Daido and O. Akimoto, Phys . Rev. Lett . 45, 709 (1980)
[14] M . Le Berre, E . Ressayre, A. Tallet and H.M. Gibbs, Phys . Rev. Lett . 56, 274 (1986 )
[15] M. Le Berre, E . Ressayre, A . Tallet, H .M . Gibbs, D .L . Kaplan and M .H. Rose, Phys . Rev . A 35, 4020 (1987)
[16] J. Kaplan and J. Yorke, in Functional differential equations and approximations of fixed points, ed. by H.O. Peitzen and H.O. Walther (Springer, N.Y.,1979), p. 228.
[17] B . Dorizzi, B . Grammaticos, M . Le Berre, Y. Pomeau, E . Ressayre and A. Tallet, Phys . Rev . A 35, 328 (1987)
[18] M. Le Berre, E. Ressayre, A . Tallet and Y. Pomeau, Phys . Rev . A 41, 6635 (1990)
[19] S . Lepri, G . Giacomelli, A . Politi and F.T. Arecchi, Physica D 70, 235 (1993) .
[20] H . Risken, The Fokker-Planck equation (Springer-Verlag, Berlin, 1984), p . 66
[21] J.M. Sanche, San Miguel, S .L . Katz, and J .D . Gunton, Phys . Rev. A 26, 1589 (1982) ; J . Masoliver, B .J . West and K . Lindenberg, ibid . 36 . 4050 (1987).