Théorie élémentaire de l’échantillonnage périodique des fonctions à énergie finie

This paper studies uniform sampling of finite energy functions (i.e. the set of real or complex functions u such as ∫_-∞^∞ |u(t)|²dt < ∞. The aim of this study is to only use elementary algebra known by most students, such as Riemann integral, Fourier series and Fourier integral. The simplest interpolation formulas are linear and are the only kind presented in this paper. Their approximation properties are linked to the aliasing principle. Many results may seem surprising. However, this is one of the main purpose of this paper.

Résumé

Cet article étudie l’échantillonnage périodique des « signaux à énergie finie », c’est-à-dire des fonctions de carré sommable. Le parti pris est de n’utiliser que des notions mathématiques élémentaires, apprises dans n’importe quelle filière scientifique (en tout cas, leur enseignement paraît souhaitable), comme l’intégrale de Riemann, les séries de Fourier et la transformation de Fourier. Les formules les plus simples d’interpolation sont linéaires, et ce sont les seules étudiées ici. Leur pouvoir de reconstruction est couramment relié à la notion de repliement. On s’est attaché à montrer en quoi cette notion intervient, et les résultats (que je ne revendique pas) pourront détruire quelques idées reçues. C’est aussi le but recherché...