A priori par normes mixtes pour les problèmes inverses - Application à la localisation de sources en M/EEG

A priori par normes mixtes pour les problèmes inverses

Application à la localisation de sources en M/EEG

Matthieu Kowalski Alexandre Gramfort 

L2S, UMR 8506 CNRS – SUPELEC – Univ. Paris-Sud Plateau de Moulon F-91192 Gif-sur-Yvette Cedex

INRIA, Projet PARIETAL NeuroSpin CEA Saclay Bat. 145, PC 156 F-91192 Gif-sur-Yvette

Corresponding Author Email: 
1 October 2009
15 May 2010
28 February 2010
| Citation



We are interested by under-determined inverse problems, and more specifically by source localization in magneto and electro-encephalography (M/EEG). Although there is a physical model for the diffusion (or “mixing’’) of the sources, the (very) under-determined nature of the problem leads to a difficult inversion. The need for strong and physically relevant priors on the sources is one of the challenge. For M/EEG classical sparsity prior based on the ℓ1 norm is not adapted, and gives unrealistic results. We propose to take into account a structured sparsity thanks to the use of mixed norms, especially a mixed norm with three indices. The method is then applied on MEG signals obtained during somesthetic stimulation. When stimulated, hand fingers activate separate regions of the primary somatosensory cortex. The use of a three level mixed norm allows to take this prior into account in the inverse problem in order to correctly recover the organization of associated brain regions. We also show that classical methods fail for this task.


On s’intéresse aux problèmes inverses sous déterminés, et plus particulièrement à la localisation de sources en magnéto et électro-encéphalographie (M/EEG). Bien que l’on ait à disposition un modèle physique de la diffusion (ou du « mélange ») des sources, le caractère très sous-déterminé de ces problèmes rend l’inversion difficile. La nécessité de trouver des a priori forts et pertinents physiquement sur les sources est une des difficultés. Dans le cadre du problème inverse de la M/EEG, la parcimonie classique mesurée par une norme ℓ1 n’est pas suffisante, et donne des résultats non réalistes. On propose ici de prendre en compte une parcimonie structurée grâce à l’utilisation de normes mixtes – notamment d’une norme mixte sur trois niveaux. La méthode est utilisée sur des signaux MEG issus d’expériences de stimulation somesthésique. Lorsqu’ils sont stimulés, les différents doigts de la main activent des régions distinctes du cortex sensoriel primaire. L’utilisation d’une norme mixte à trois niveaux permet d’injecter cet a priori dans le problème inverse et ainsi de retrouver la bonne organisation corticale des zones actives. Nous montrons également que la méthode la plus classiquement utilisée dans le domaine échoue dans cette tâche.


mixed norms, inverse problems, proximal operators, electroencephalography, magnetoencephalography


normes mixtes, problème inverse, opérateurs de proximité, électroencéphalographie, magnétoencéphalographie

Extended Abstract
1. Introduction
2. Approche Générale Et État De L’art
3. Structures Et Parcimonie Par Les Normes Mixtes
4. Optimisation Convexe
5. Résultats
6. Conclusion

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