A priori par normes mixtes pour les problèmes inverses - Application à la localisation de sources en M/EEG

A priori par normes mixtes pour les problèmes inverses

Application à la localisation de sources en M/EEG

Matthieu Kowalski Alexandre Gramfort 

L2S, UMR 8506 CNRS – SUPELEC – Univ. Paris-Sud Plateau de Moulon F-91192 Gif-sur-Yvette Cedex

INRIA, Projet PARIETAL NeuroSpin CEA Saclay Bat. 145, PC 156 F-91192 Gif-sur-Yvette

Corresponding Author Email: 
matthieu.kowalski@lss.supelec.fr
Page: 
53-78
|
DOI: 
https://doi.org/10.3166/TS.27.53-78
Received: 
1 October 2009
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Accepted: 
15 May 2010
|
Published: 
28 February 2010
| Citation

OPEN ACCESS

Abstract: 

We are interested by under-determined inverse problems, and more specifically by source localization in magneto and electro-encephalography (M/EEG). Although there is a physical model for the diffusion (or “mixing’’) of the sources, the (very) under-determined nature of the problem leads to a difficult inversion. The need for strong and physically relevant priors on the sources is one of the challenge. For M/EEG classical sparsity prior based on the ℓ1 norm is not adapted, and gives unrealistic results. We propose to take into account a structured sparsity thanks to the use of mixed norms, especially a mixed norm with three indices. The method is then applied on MEG signals obtained during somesthetic stimulation. When stimulated, hand fingers activate separate regions of the primary somatosensory cortex. The use of a three level mixed norm allows to take this prior into account in the inverse problem in order to correctly recover the organization of associated brain regions. We also show that classical methods fail for this task.

RÉSUMÉ

On s’intéresse aux problèmes inverses sous déterminés, et plus particulièrement à la localisation de sources en magnéto et électro-encéphalographie (M/EEG). Bien que l’on ait à disposition un modèle physique de la diffusion (ou du « mélange ») des sources, le caractère très sous-déterminé de ces problèmes rend l’inversion difficile. La nécessité de trouver des a priori forts et pertinents physiquement sur les sources est une des difficultés. Dans le cadre du problème inverse de la M/EEG, la parcimonie classique mesurée par une norme ℓ1 n’est pas suffisante, et donne des résultats non réalistes. On propose ici de prendre en compte une parcimonie structurée grâce à l’utilisation de normes mixtes – notamment d’une norme mixte sur trois niveaux. La méthode est utilisée sur des signaux MEG issus d’expériences de stimulation somesthésique. Lorsqu’ils sont stimulés, les différents doigts de la main activent des régions distinctes du cortex sensoriel primaire. L’utilisation d’une norme mixte à trois niveaux permet d’injecter cet a priori dans le problème inverse et ainsi de retrouver la bonne organisation corticale des zones actives. Nous montrons également que la méthode la plus classiquement utilisée dans le domaine échoue dans cette tâche.

Keywords: 

mixed norms, inverse problems, proximal operators, electroencephalography, magnetoencephalography

MOTS-CLÉS

normes mixtes, problème inverse, opérateurs de proximité, électroencéphalographie, magnétoencéphalographie

Extended Abstract
1. Introduction
2. Approche Générale Et État De L’art
3. Structures Et Parcimonie Par Les Normes Mixtes
4. Optimisation Convexe
5. Résultats
6. Conclusion
  References

Baillet S., Mosher J., Leahy R. (2001). « Electromagnetic brain mapping », IEEE Signal Processing Magazine, vol. 18(6), p. 14-30.

Beck A., Teboulle M. (2009). « A Fast Iterative Shrinkage-Thresholding Algorithm for Linear Inverse Problems », SIAM Journal on Imaging Sciences, vol. 2, n° 1, p. 183-202.

Benedek A., Panzone R. (1961). « The space Lp with mixed norm », Duke Mathematical Journal, vol. 28, p. 301-324.

Bobin J., Starck J.-L., Moudden Y., Fadili M. (2008). « Blind Source Separation : The Sparsity Revolution », in P. Hawkes (ed.), Advances in Imaging and Electron Physics, Academic Press, Elsevier, p. 221-298.

Boyd S., Vandenberghe L. (2004). Convex Optimization, Cambridge University Press, March.

Candès E. J., Tao T. (2005). « The Dantzig selector : statistical estimation when p is much larger than n », Annals of Statistics, vol. 35, p. 2313-2351.

Combettes P. L.,Wajs V. R. (2005). « Signal recovery by proximal forward-backward splitting », Multiscale Modeling and Simulation, vol. 4, n° 4, p. 1168-1200, November.

Dale A., Liu A., Fischl B., Buckner R. (2000). « Dynamic statistical parametric neurotechnique mapping: combining fMRI and MEG for high-resolution imaging of cortical activity », Neuron, vol. 26, p. 55-67.

Dale A., Sereno M. (1993). « Improved Localization of Cortical Activity By Combining EEG and MEG with MRI Cortical Surface Reconstruction », Journal of Cognitive Neuroscience, vol. 5, p. 162-176, Jan.

Daubechies I., Defrise M., De Mol C. (2004). « An iterative thresholding algorithm for linear inverse problems with a sparsity constraint », Commun. Pure Appl. Math., vol. 57, n° 11, p. 1413 -1457, Aug.

Daudet L., Molla S., Torrésani B. (2004). « Towards a hybrid audio coder », in J. P. Li (ed.), International Conference Wavelet analysis and Applications, Chongqing, China, p. 13-24.

Donoho D. L. (2006). « Compressed Sensing », IEEE Transactions on Information Theory, vol. 52, n° 4, p. 1289-1306, april, 2006.

Dupé F.-X., Fadili M., Starck J.-L. (2009). « A proximal iteration for deconvolving Poisson noisy images using sparse representations », IEEE Transactions on Image Processing, vol. 18, n° 2, p. 310-321, 2009.

Feichtinger H. G. (2006). « Modulation Spaces : Looking Back and Ahead », Sampling Theory in Signal and Image Processing, vol. 5, n° 3, p. 109-140, 2006.

Févotte C., Torrésani B., Daudet L., Godsill S. J. (2008). « Sparse linear regression with structured priors and application to denoising of musical audio », IEEE Transactions on Audio, Speech and Language Processing, vol. 16, n° 1, p. 174-185.

Gramfort A. (2009). Mapping, timing and tracking cortical activations with MEG and EEG : Methods and application to human vision, PhD thesis.

Grochenig K., Samarah S. (2000). « Non-linear approximation with local Fourier bases », Constr. Approx., vol. 16, p. 317-332.

Kowalski M. (2009). « Sparse Regression Using Mixed Norms », Appl. Comput. Harmon. Anal., vol. 27, n° 3, p. 303-324.

Kowalski M., Torrésani B. (2008). « Random Models for Sparse Signals Expansion on Unions of Basis with Application to Audio Signals », IEEE Transactions on Signal Processing.

Kowalski M., Torrésani B. (2009a). « Sparsity and persistence : mixed norms provide simple signals models with dependent coefficients », Sig Imag Video Process, vol. 3, n° 3, p. 251-264.

Kowalski M., Vincent E., Gribonval R. (2009b). Beyond the Narrowband Approximation : Wideband Convex Methods for Under-Determined Reverberant Audio Source Separation, Technical report. Meunier S., Garnero L., Ducorps A., Mazières L., Lehéricy S., du Montcel S., Renault B.,

Vidailhet M. (2001). « Human brain mapping in dystonia reveals both endophenotypic traits and adaptative reorganization », Annals of Neurology, vol. 50, p. 521-527.

Moreau J.-J. (1965). « Proximité et dualité dans un espace hilbertien », Bull. Soc. Math. France, vol. 93, p. 273-299.

Mosher J., Lewis P., Leahy R. (1992). « Multiple Dipole Modeling and Localization from Spatio-Temporal MEG data », IEEE Transactions on Biomedical Engineering, vol. 39, n° 6, p. 541-553.

Ou W., Hämaläinen M., Golland P. (2009). « A Distributed Spatio-Temporal EEG/MEG Inverse Solver », Neuroimage, vol. 44, p. 932-946.

Pascual-Marqui R. D., Michel C. M., Lehman D. (1994). « Low resolution electromagnetic tomography : A new method for localizing electrical activity of the brain », Psychophysiology, vol. 18, p. 49-65, 1994.

Penfield W., Rasmussen T. (1950). The Cerebral Cortex of Man : A Clinical Study of Localization of Function, Macmillan.

Rockafellar R. (1972). Convex Analysis, Princeton University Press.

Rychkov V. S. (1999). « On restrictions and extensions of the Besov and Triebel-Lizorkin spaces with respect to Lipschitz domains », Journal of London Mathematical Society, vol. 60, n° 1, p. 237-257.

Samarah S., Salman R. (2006). « Local Fourier bases and modulation spaces », Turkish Journal of Mathematics, vol. 30, n° 4, p. 447-462, 2006.

Szafranski M., Grandvalet Y., Rakotomamonjy A. (2010). « Composite Kernel Learning », Machine Learning, vol. , p. 1-33.

Tseng P. (2009). Approximation Accuracy, Gradient Methods, and Error Bound for Structured Convex Optimization, Technical report, 2009.

Vincent E., Gribonval R., Pumbley M. (2007). « Oracle estimators for the benchmarking of source separation algorithms », Sig. Process., vol. 87, n° 8, p. 1933-1950, Aug.

Weiss P. (2008). Algorithmes rapides d’optimisation convexe. Applications à la reconstruction d’images et à la détection de changements., PhD thesis, Université de Nice SophiaAntipolis, Novembre.

Wipf D., Nagarajan S. (2009b). « A unified bayesian framework for MEG/EEG source imaging », Neuroimage, vol. 44, n° 3, p. 947-966, Feb.

Yuan M., Lin Y. (2006). « Model selection and estimation in regression with grouped variables », Journal of the Royal Statistical Society Serie B, vol. 68, n° 1, p. 49-67.

Zou H., Hastie T. (2005). « Regularization and variable selection via the elastic net », Journal of the Royal Statistical Society Series B, Jan.