Tests de stabilité des filtres numériques récursifs bidimensionnels
Stability tests for bi-dimensional digital recursive filters
OPEN ACCESS
Today, bidimensional (2-D) digital recursive filters find some applications in image processing, in linear prediction coding for example. In order to be usefull, these filters must be stable . This paper deals with the stability of 2-D digital recursive filters. At first, elementary 2-D filtering notions and stability conditions are given. Various equivalent stability conditions are thus given, deduced from geometrical properties of the Schur polynomial set. Moreover, they are classified according to their good or bad adaptation to a stability test algorithm. Finally a fast and reliable algorithm, implemented with a floating point arithmetic, is given. It has a robust behavior when faced with rounding errors.
Résumé
Les filtres récursifs bidimensionnels (2-D) trouvent aujourd'hui quelques applications en traitement d'images, comme par exemple en codage par prédiction linéaire. Pour être utilisables, ces filtres doivent être stables. Ce papier porte sur la stabilité des filtres récursifs 2-D. Il commence par un rappel des notions élémentaires de filtrage 2-D et des conditions de stabilité. Puis, il est montré à partir de propriétés géométriques de l'ensemble des polynômes de Schur, comment ces conditions de stabilité peuvent être déclinées sous différentes formes équivalentes, qui sont ensuite classées suivant leur plus ou moins bonne adaptation à un algorithme de test de stabilité. Enfin un algorithme rapide et fiable est présenté. Il résiste bien aux erreurs d'arrondi quand il est implanté avec une arithmétique à virgule flottante.
Stability of multidimensional systems, zeros of polynomials in two variables, digital recursive filters
Mots clés
Stabilité de systèmes multidimensionnels, zéros de polynômes à deux variables, filtres récursifs bi-dimensionnels
[1] T. S . Huang, Two-Dimensional Digital Signal Processing I, Topics in Applied Physics, vol . 42, Springer-Verlag, New-York, 1981 .
[2] J. Lelong-Ferrand et J. M . Arnaudiès, Cours de mathématiques, Algèbre, tome 1, troisième édition, Dunod,1978 .
[3] M . Barret and M . Benidir, «On the boundary of the set of Schur polynomials and applications to the stability of 1-D and 2-D digital recursive filters», IEEE Trans. Automatic Control, vol . 39, no . 11, p . 2335-2339, Nov . 1994 .
[4] M . Barret and M . Benidir, «Behavior of stability tests for two-dimensional digital recursive filters when faced with rounding errors», IEEE Trans . Circuits and Systems (II), vol. 44, no . 4, p . 319-323, Apr. 1997.
[5] S . Basu and A . Fettweis, «Simple Proofs of some Discrete Domain Stability Related Properties of Multidimensional Polynomials», Int . J. of Circuit Theory and Applications, vol . 15, p. 357-370, 1987 .
[6] M . Benidir, «On the root distribution of general polynomials with respect to the unit circle», Signal Processing, vol . 53, p . 75-82, 1996.
[7] M. Benidir and M . Barret, «A Bezout resultant based stability test for 2-D digital recursive filters», Proc . Int . Conf. EUSIPCO-92, vol . 2, p . 989-992 , Brussels, Aug. 1992 .
[8] M. Benidir and B . Picinbono, «The extended Routh's table in the complex case», IEEE Trans . Automatic Control, vol . 36, no . 2, p . 253-256, Feb. 1991 .
[9] Y. Bistritz, «Zero location with respect to the unit circle of discrete time linear system polynomials», Proc . of the IEEE, vol . 72, no . 9, Sep . 1984.
[10] N . K. Bose, «Simplification of a multidimensional digital filter stability test», J . Franklin Inst ., vol . 330, no . 5, p . 905-911, 1993 .