La notion de localisation dans le plan temps-fréquence
Remarks on the notion of time - frequency localization
OPEN ACCESS
The idea behind a time-frequency representation is often connected with that of some form of localization in the plane. This point of view is faced with a number of limitations, which all express in some way uncertainty relations between time and frequency. In the case of « chirps », there exist however adapted representations which can localize very accurately on specific curves of the plane, and whose construction can be merely justified on the basis of geometric arguments. As a corollary, such joint descriptions, in both time and frequency, allow for an interpretaion of the corresponding localization curves in terms of « instantaneous frequencies ».
Résumé
L'idée de représentation temps-fréquence d'un signal est en général associée à celle d'une forme de localisation dans le plan. Ce point de vue se heurte à un certain nombre de limites qui sont autant de façons d'exprimer des relations d'incertitude entre le temps et la fréquence . Dans le cas de signaux «chirps », des représentations adaptées peuvent néanmoins se localiser de façon très précise sur des courbes spécifiques du plan, la construction de telles représentations pouvant se faire sur la base d'arguments essentiellement géométriques. Décrire un signal conjointement en temps et en fréquence permet en corollaire d'interpréter les courbes sur lesquelles la représentation se localise en termes de «fréquences instantanée».
Time frequency analysis, chirps, localization, symmetries
Mots clés
Analyse temps-fréquence, sigaux modulés, localisation, symétries
[1] P.O . Amblard and Lacoume, J.L. (1992) . Construction of fourth order Cohen's class : a deductive approach. IEEE Int. Symp. on Time-Frequency and lime - Scale Analysis TFTS-92, Victoria (BC), 257-260.
[2]F. Auger and Flandrin, P. (1995) . Improving the readability of time-frequency and time-scale representations by using the reassignment method . IEEE Trans. on Signal Proc. 43 (5), 1068—1089 .
[3] F. Auger, Flandrin, P., Lemoine, O. and Gonçalvès, P. (1998) . Time-Frequency Toolbox, for use with MATLAB . Logiciel et documentation téléchargeables depuis le site http ://www.physique .ens-lyon.fr/ts/tftb.httnl .
[4] J. Bertrand and Bertrand, P. (1992) . A class of affine Wigner functions with extended covariance properties . J. Math. Phys . 33 (7), 2515-2527 .
[5] A . Blanc-Lapierre et Picinbono, P. (1955) . Remarques sur la notion de spectre instantané de puissance. Publ. Sci. Univ. Alger B 1, 2-32 .
[6] B . Boashash and Ristic, B . (1992) . Polynomial Wigner-Ville distributions and time-varying higher-order spectra . IEEE-SP Int. Symp . on Time-Frequency and Time-Scale Analysis, Victoria (BC), 31-34 .
[7] R . Carmona, Hwang, W.L. and Torrésani, B . (1998) . Practical Time-Frequency Analysis . Academic Press, San Diego, CA .
[8] E . Chassande-Mottin (1998) . Méthodes de réallocation dans le plan tempsfréquence pour l'analyse et le traitement de signaux non stationnaires. Thèse de Doctorat, Univ. de Cergy-Pontoise . Document téléchargeable depuis le site http ://www.physique .ens-lyon .fr/ts/these/e8 .html .
[9] L . Cohen, (1990) . Distributions concentrated along the instantaneous frequency. SPIE Meeting on Advanced Signal Processing Algorithms, Architectures and Implementations, 1348, 149-157 .
[10] L . Cohen, (1995) . Time-Frequency Analysis . Prentice-Hall, Englewoos Cliffs, NJ .
[11] P. Flandrin, (1998) . Temps-Fréquence (2ème éd.) . Hermès, Paris .
[12] P. Flandrin, (1999) . Time-Frequency/Time-Scale Analysis. Academic Press , San Diego, CA .
[13] P. Flandrin and Escudié, B . (1984) . An interpretation of the pseudo-WignerVille distribution. Signal Proc. 6 (1), 27-36 .
[14] P. Flandrin and Gonçalvès, P. (1996). Geometry of affine time-frequency distributions . Appl. Comp . Harm . Anal . 3 (1), 10-39 .
[15] G .B . Folland and Sitaram, A . (1997) . The uncertainty principle : a mathematical survey . J. Fourier Anal. Appt. 3 (3), 207-238 .
[16] A. Grossmann, (1976) . Parity operator and quantization of 6-functions . Commun. Math . Phys. 48, 191-194.
[17] A. Grossmann et Escudié, B . (1991) . Une représentation bilinéaire en temps et échelle des signaux d'énergie finie . 13ème Coll . GRETSI, juan-les-Pins , 33-36.
[18] G . Hardy, Littlewood, J .E, and Pólya, G. (1934) . Inequalities . Cambridge University Press, Cambridge.
[19]F. Hlawatsch, and Flandrin, P. (1998) . The interference structure of the Wigner distribution and related time-frequency signal representations . In [24, pp . 59-133] .
[20]A .J .E.M . Janssen (1982). On the locus and spread of pseudo-density functions in the time-frequency plane . Philips J. Res . 37, 79-110 .
[21] K . Kodera , de Villedary, C . and Gendrin, R . (1976) . A new method for the numerical analysis of non-stationary signals . Phys. Earth and Plan . Int. 12, 142-150 .
[22] G . Longo and Picinbono, B . (eds ., 1989). Time and Frequency Representation of Signals and Systems, CISM Courses and Lectures 309, Springer-Verlag, Wien.
[23]P. Loughlin, and Tacer, B . (1996). On the amplitude and frequency-modulation decomposition of signals . J. Acoust. Soc . Amer. 100, 1594-1601 .
[24]W.F.G . Mecklenbräuker and Hlawatsch, F. (eds ., 1998) . The Wigner Distribution — Theory and Applications in Signal Processing . Elsevier, Amsterdam.
[25] J .C . O'Neill and Flandrin, P. (1998. Two excursions in the quartic domain. IEEE Int. Symp . on Time-Frequency and Time-Scale Analysis TFTS-98, Pittsburgh, PA, 321-324.
[26] B . Picinbono (1997) . On instantaneous amplitude and phase of signal . IEEE Trans. on Signal Proc ., 45 (3), 552-560 .
[27] B . Picinbono, (1998) . Some remarks on instantaneous amplitude and frequency of signals . IEEE Int. Symp. on Time-Frequency and Time-Scale Analysis TFTS-98, Pittsburgh, PA, 293-300 .
[28] B . Picinbono et Martin, W. (1983). Représentation des signaux par amplitude et phase instantanées . Ann . Télécomm. 38 (5-6), 179-190.
[29] M . Poletti, (1997) . The homomorphie analytic signal . IEEE Trans. on Signal Proc . 45, 1943-1953 .
[30] A . Royer, (1977) . Wigner function as expectation value of a parity operator . Phys. Rev. A 15 (2), 449-450 .
[31]K.B . Stolarsky, (1975). Generalizations of the logarithmic mean . Math . Mag. 48, 87-92 .
[32] A. Unterberger, (1984). The calculus of pseudo-differential operators of Fuchs type. Comm . in Part. Diff. Eq. 9, 1179-1236.
[33] D . Vakman, (1996) . On the analytic signal, the Teager-Kaiser energy algorithm, and other methods for defining amplitude and frequency . IEEE Trans. on Signal Proc. 44, 791-797.
[34] J . Ville, (1948) . Théorie et applications de la notion de signal analytique. Câbles et Transm . 2ème A . (1), 61-74 .
[35] E .P. Wigner, (1932). On the quantum correction for thermodynamic equilibrium . Phys . Rev. 40, 749-759 .