Introduction aux Statistiques de deuxième espèce : applications des Logs-moments et des Logs-cumulants à l’analyse des lois d’images radar

Introduction aux Statistiques de deuxième espèce : applications des Logs-moments et des Logs-cumulants à l’analyse des lois d’images radar

Introduction to second kind statistics : application of Log-moments and Log-cumulants to SAR image law analysis

Jean-Marie Nicolas

École Nationale Supérieure des Télécommunications, Département TSI, 46 rue Barrault, 75634 Paris cedex 13

Corresponding Author Email: 
nicolas@tsi.enst.fr
Page: 
139-167
|
Received: 
15 December 2001
|
Accepted: 
N/A
|
Published: 
30 September 2002
| Citation

OPEN ACCESS

Abstract: 

Statistics methods classicaly used to analyse a probability density function (p.d.f.) are based on Fourier Transform, on which usefull tools as first and second characteristic functions are based, yielding the definitions of moments and cumulants. Yet this transform does not well match with p.d.f. defined on R+ as analytical expressions can be rather heavy in this case. In this article, we propose to start with a rather misknown transform: the Mellin transform, in order to define second kind statistics. By this way, second kind characteristic functions, second kind moments (log-moments) and second kind cumulants (log-cumulants) can be defined by mimicing the traditional definitions. For classical p.d.f. defined on R+, as Gamma and Nakagami laws, this approach seems to be simpler than previous one. More, for complicated p.d.f., as the famous K law or positive α-stable distributions, second kind statistics yield oversimple results.

This new approach provides new methods for estimating the parameters of p.d.f. defined on R+. Comparisons can be done with traditional methods as Maximum Likehood Method and Moment Method: the variance of the new methods estimators are lower than Moment Method ones, and slightly upper than Cramer Rao bounds.

Résumé

Les méthodes utilisées en statistique pour étudier une distribution de probabilité (d.d.p.) sont fondées sur la transformée de Fourier, approche qui permet d’établir les définitions des fonctions caractéristiques, des moments et des cumulants. Cependant, cette transformation est mal adaptée à des d.d.p. définies sur R+ car les expressions analytiques des fonctions caractéristiques peuvent alors devenir très lourdes, voire impossibles à formuler. Cet article propose de substituer à la transformée de Fourier la transformée de Mellin. Il est alors possible, en s’inspirant des précédentes définitions, d’introduire les statistiques de deuxième espèce : fonctions caractéristiques de deuxième espèce, moments de deuxième espèce (ou log-moments) et cumulants de deuxième espèce (ou logcumulants). Appliquée à des lois classiques comme la loi Gamma ou la loi de Nakagami, cette approche donne des résultats plus faciles à utiliser que l’approche classique. De plus, pour des lois plus compliquées, comme la loi K ou les distributions α-stables positives, les statistiques de deuxième espèce donnent des expressions vraiment très simples et aisées à exploiter.

Cette nouvelle approche propose donc des méthodes innovantes pour estimer les paramètres de lois définies sur R+. Il est possible de comparer les estimateurs ainsi obtenus avec ceux de la méthode des moments ou celui du maximum de vraisemblance : on peut ainsi montrer que ces nouvelles méthodes ont des variances d’estimées inférieures à la première et légèrement supérieures aux bornes de Cramer Rao.

Keywords: 

Probability Density Functions defined on R+, Gamma law, Nakagami law, characteristic functions, parameters estimation, Mellin transform

Mots clés

Lois statistiques définies sur R+, loi Gamma, loi de Nakagami, fonctions caractéristiques, estimation de paramètres, transformée de Mellin

1. Introduction
2. Définition Des Fonctions Caractéristiques De Deuxième Espèce
3. Exemples Fondamentaux
4. Applications
5. Estimation Des Paramètres
6. Conclusions
  References

[Car61] H. Cartan. Théorie élémentaire des fonctions analytiques d’une ou plusieurs variables complexes, Hermann, 1961.

[Col59] S. Colombo. Les transformations de Mellin et de Hankel. Centre National de la Recherche Scientifique, 1959.

[Cra46] H. Cramér. Mathematical methods of statistics. Princeton University Press, 1946.

[Hof60] WW.C. Hoffman. Statistical methods in ratio wave propagation. Pergamon Press, 1960.

[JK70] N. Johnson and Samuel Kotz. Continuous univariate distributions-1. John Wiley & Sons, 1970.

[KJ01] E. KuruogLlu and J. Zerubia. Modelling SAR images with a generalisation of the rayleigh distribution. Technical Report 4121, INRIA, 2001.

[Lom67] Z.A. Lomnicki. On the distribution of products of random variables. Journal of Royal Statistics Society Ser. B, 29(3) : pp. 513-524, 1967.

[Luk83] E. Lukacs. Developments in Characteristics Functions Theory. Charles Griffin, 1983.

[Mét72] M. Métivier. Notions fondamentales de la théorie des probabilités, Dunod, 1972.

[Nic01] J.-M. Nicolas. Filtrage homomorphique optimal RSO (Radar à Synthèse d’Ouverture). In GRETSI’01, Toulouse, France, Sep. 2001.

[Nic02] J.-M. Nicolas. Introduction aux statistiques de deuxième espèce : applications aux lois d’images RSO. Technical Report 2002D001, ENST, 2002.

[NM98] J.-M. Nicolas and A. Maruani. PIERS’98. In Speckle well modeled by Mellin Transform, Nantes, France, jul 1998.

[NM99] J.-M. Nicolas and A. Maruani. Numerical Mellin transform applied to texture classification on SAR images, In PIERS’99, Taiwan, march 1999.

[NMB00] J.-M. Nicolas, A. Maruani, and R. Badeau. Les moments d’ordre inférieur : Principes et application au filtrage des images RSO. In RFIA2000, Paris, jan 2000.

[NSTT97] J.-M. Nicolas, M. Sigelle, C. Thuillier, and F. Tupin. Images de radar à ouverture synthétique : transformée de Mellin et multirésolution. In GRESTSI’97, Grenoble, France, Sep. 1997.

[Obe74] F. Oberhettinger, Tables of Mellin Transform, Springer Verlag, 1974.

[Oli93] C.-J. Oliver, Optimum texture estimators for SAR clutter. J. Phys. D. : Appl. Phys., 26 : pp. 1824-1835, 1993.

[Pie97] R.-D. Pierce,. Application of the positive alpha-stable distribution. In IEEE Signal Processing Workshop on Higher-Order Statistics, pp. 420-424, IEEE, 1997.

[SK87] A. Stuart and J. Keith. Kendall’s Advanced Theory of Statistics, Vol 1 Distribution Theory (Fifth edition). Griffin, 1987.

[SN93] M. Shao and C.-L. Nikias. Signal processing with fractional lower order moments : stable process and their applications. Proceeding of the IEEE, 81(7) : pp. 986-1010, July 1993.

[Tag01] A. Tagliani. Recovering a probability density function from its Mellin transform. Applied Mathematics and Computation, 118 (2-3) : pp. 151-159, 2001.

[Tag02] A. Tagliani. Numerical inversion of the Mellin transform on the real line for heavy-tailed probability density functions. Applied Mathematicals and Computation, 130 (2-3) : pp. 525-536, 2002.

[Was67] M.-J. Wasilewski. Sur certaines propriétés de la distribution Gamma généralisée. Revue de statistiques appliquées, 15(1) : pp. 95-105, 1967.