Recursive Filters for Gradient Estimation and Contour Extraction Using B-Spline Interpolation. Filtres Récursifs pour L'estimation du Gradient et la Détection de Contours par Interpolation Spline

This paper addresses the problem of calculating the gradiant of a discrete signal with the goal of detecting contour. Interpolating such a function by a cubic spline is indeed a good solution. However, when step contours are present in the signal, such an interpolation should be associated with a smoothing operation, to avoid multiple maximas of the gradiant shape. We propose a class of smoothing filters, from which we deduce a class of derivative filters. We will show, computing Canny's criteria, that according to them, the first order filter provides results as good as those of higher order, while having a lower computation cost. We will show that in the 1 D case, the Shen-Castan's an Deriche's derivative filters belong to this class of filter. We will show that in the 2D case Deriche's operator acts as our second order operator, provided that the scale parameter a be small, meaning that the smoothing effect is important. Then we will adress the problem of searching the maxima of the gradient. We will propose two operators. One which provides an over-sampled gradient image . The other provides a gradient image of the same size of the original, but resampled on intermediate points. Such gradient images make easier and more robust to rounding error the search of maxima. We will then illustrate on some typical images the results we obtain from the proposed operators. 

Résumé 

Cet article concerne le calcul du gradient d'un signal discrétisé, en vue de détecter des contours. Une solution élégante à ce problème est apportée par l'interpolation de la fonction discrétisée par une spline cubique. Cependant, lorsque le signal est riche en fronts abrupts, cette opération doit être précédée d'un lissage, sous peine d'obtenir une dérivée présentant des extrema multiples. Nous proposerons une classe de filtres de lissage et nous déduirons le filtre dérivateur correspondant. Nous montrerons, en calculant les critères de Canny, que eu égard à ces critères, le filtre dérivateur d'ordre 1 donne d'aussi bons résultats pour un coût de calcul minimal, que les filtres d'ordre plus élevé. Nous montrerons que dans le cas 1D, les filtres dérivateurs de Shen-Castan et de Deriche font partie de cette classe de filtres .Nous montrerons que dans le cas 2D, l'opérateur de Deriche se comporte comme notre opérateur d'ordre 2, pour autant que le facteur d'échelle a soit petit, et donc que l'effet de lissage soit important. Nous nous intéresserons à la recherche des maxima du gradient. Nous proposerons deux opérateurs permettant d'obtenir l'un : un sur-échantillonnage du gradient, l'autre : un échantillonnage décalé du gradient. A partir des images de gradient délivrées par ces opérateurs, la recherche du maximum devient une opération triviale. Elle est en outre robuste aux erreurs d'arrondi. Nous illustrerons sur quelques images typiques les contours obtenus à partir de ces opérateurs.